🎯要点

1. 🎯资产价格动态数学随机模型：🖊价格几何布朗运动过程积分 | 🖊布朗运动和几何布朗运动随时间概率密度 | 🖊几何布朗运动离散过程 | 🖊电动车历史股票价值及预期。
2. 🎯金融衍生品估值偏微分方程：🖊期权合约 | 🖊计算看涨期权期权面，显示对冲参数及预期价格 | 🖊计算看跌期权的期权面 | 🖊对冲看涨期权投资组合 | 🖊再平衡频率对投资组合方差的影响。
3. 🎯期权价格与隐含概率密度函数关系模型：🖊看涨期权隐含波动率 | 🖊看涨期权敏感度值曲面 | 🖊隐含波动率曲面 | 🖊看涨期权价值函数偏微分变化趋势 | 🖊看涨期权价格执行价格对比 | 🖊哈根隐含波动率参数化下的不同隐含波动率形状 | 🖊外汇市场报价数据插值 | 🖊局部波动模型模拟。
4. 🎯价格泊松过程中偏积分微分方程：🖊价格跳跃扩散的蒙特卡罗路径和补偿泊松过程 | 🖊默顿模型，跳跃扩散过程 | 🖊跳跃扩散过程概率密度三维分布和二维动态 | 🖊默顿跳跃扩散模型对隐含波动率影响 | 🖊对冲看涨期权价格波动 | 🖊不同对冲频率对损益方差的影响。
5. 🎯傅立叶余弦级数和风险中性估值期权定价方法 | 🎯多维期权定价和风险中性措施
6. 🎯C++和Python计算金融数学方程算法模型

🍇Python风险中性资产定价

令 $\beta =1/(1+\rho )$ 为跨期贴现因子，其中 $\rho$ 是主体对未来贴现的利率。为一单位除息资产定价的基本风险中性资产定价方程为
$$p_t=\beta E_t\left[d_{t+1}+p_{t+1}\right]$$
这里 $E_t[y]$ 表示 $y$ 的最佳预测，以时间 $t$ 可用的信息为条件。

最简单的情况是恒定、非随机股息流的风险中性价格 $d_t=d>0$。从上式中删除期望并向前迭代得出，
$$\begin{array}{rl}{p}_t& =\beta \left(d+p_{t+1}\right)\\ & =\beta \left(d+\beta \left(d+p_{t+2}\right)\right)\\ & ⋮\\ & =\beta \left(d+\beta d+{\beta }^{2}d+\cdots +{\beta }^{k-2}d+{\beta }^{k-1}{p}_{t+k}\right)\end{array}$$
如果 ${\lim }_{k\to +\infty }{\beta }^{k-1}{p}_{t+k}=0$，该序列收敛为
$$\bar{p}:=\frac{\beta d}{1-\beta }$$
这是股息不变情况下的均衡价格。

考虑一个增长的非随机股息过程$d_{t+1}=g{d}_t$，其中$0<g\beta <1$。虽然当股息随着时间的推移而增长时，价格通常不会保持不变，但价格股息率却可以。

如果我们猜到这一点，将 $v_t=v$ 代入下式以及我们的其他假设，我们得到 $v=\beta g(1+v)$​。
$$v_t=E_t\left[m_{t+1}\frac{d_{t+1}}{d_t}\left(1+v_{t+1}\right)\right]$$
由于 $\beta g<1$，我们有唯一的正解：
$$v=\frac{\beta g}{1-\beta g}$$
价格为：
$$p_t=\frac{\beta g}{1-\beta g}{d}_t$$
在这个例子中，如果我们采用 $g=1+\kappa$ 并让 $\rho :=1/\beta -1$，那么价格就变成
$$p_t=\frac{1+\kappa }{\rho -\kappa }{d}_t$$
这就是所谓的戈登公式。

代码实现一个著名的定价模型：

class PricingModel:
 
    def __init__(self, β=0.96, mc=None, γ=2.0, g=np.exp):
        self.β, self.γ = β, γ
        self.g = g

        # A default process for the Markov chain
        if mc is None:
            self.ρ = 0.9
            self.σ = 0.02
            self.mc = qe.tauchen(n, self.ρ, self.σ)
        else:
            self.mc = mc

        self.n = self.mc.P.shape[0]

    def test_stability(self, Q):
    
        sr = np.max(np.abs(eigvals(Q)))
        if not sr < 1 / self.β:
            msg = f"Spectral radius condition failed with radius = {sr}"
            raise ValueError(msg)


def tree_price(ap):
    # Simplify names, set up matrices
    β, γ, P, y = ap.β, ap.γ, ap.mc.P, ap.mc.state_values
    J = P * ap.g(y)**(1 - γ)

    # Make sure that a unique solution exists
    ap.test_stability(J)

    # Compute v
    I = np.identity(ap.n)
    Ones = np.ones(ap.n)
    v = solve(I - β * J, β * J @ Ones)

    return v

这是 $v$ 作为 $\gamma$ 几个值的状态函数的图，具有正相关的马尔可夫过程和 $g(x)=\exp (x)$，

γs = [1.2, 1.4, 1.6, 1.8, 2.0]
ap = AssetPriceModel()
states = ap.mc.state_values

fig, ax = plt.subplots()

for γ in γs:
    ap.γ = γ
    v = tree_price(ap)
    ax.plot(states, v, lw=2, alpha=0.6, label=rf"$\gamma = {γ}$")

ax.set_title('Price-dividend ratio as a function of the state')
ax.set_ylabel("price-dividend ratio")
ax.set_xlabel("state")
ax.legend(loc='upper right')
plt.show()

参阅一：计算思维

参阅二：亚图跨际